Mathématiques pour la chimie

Mathématiques pour la chimieCode de l'UE : HLMA307

Présentation

Outils Mathématiques pour la chimie (5 ECTS) :

1. Révisions sur les nombres complexes :

    • Définition des nombres complexes, partie réelle, imaginaire, complexe conjugué.
    • Module et argument. Forme exponentielle.
    • Résolution des équations du second degré.
    • Quelques formules de trigonométrie. Transformations géométriques.


    2. Révisions d'algèbre linéaire.

    • Calcul matriciel, déterminant, trace, inverse.
    • Notion d'espace vectoriel, base d'un espace vectoriel.
    • Applications linéaires et leurs représentations matricielles.
    • Noyau, image, théorème du rang, valeur propres, espaces propres.
    • Norme, produit scalaire, bases orthonormées.

    3. Isométries linéaires du plan et de l'espace

    • Généralités sur les isométries, caractérisation matricielle.
    • Déterminant, valeurs propres et espaces propres d'une isométrie.
    • Classification des isométries linéaires du plan (symétries, rotations).
    • Classification des isométries linéaires de l'espace (réflexions, rotations, rotations impropres).

    4. Groupes

    • Définition mathématique, table de multiplication, groupe ponctuel d'une molécule.
    • Sous-groupes, théorème de Lagrange.
    • Ordre d'un élément. Classes de conjugaison.
    • Morphismes, isomorphismes.

    5. Représentations linéaires des groupes finis.

    • Notion de représentation.
    • Somme directe de représentations, représentations réductibles, irréductibles.
    • Caractère d'une représentation. Représentations isomorphes.
    • Produit scalaire de caractères.
    • Définition et propriétés des caractères irréductibles (orthogonalité, équation des degrés, etc.).
    • "Méthode" pour dresser une table de caractères.
    • Décomposition d'un caractère donné en somme de caractères irréductibles.
    • Application : étude des vibrations moléculaires, détermination des modes propres de vibration.

    Remarques générales :

    • La plupart des résultats du cours sont donnés sans démonstration et l'on insiste plutôt sur leur utilisation.
    • Les exemples d'application sont essentiellement issus de la chimie (étude de groupes ponctuels de molécules, et des représentations de ces groupes).

Objectifs

  • Comprendre les objets et les outils mathématiques en jeu (algèbre linéaire, isométries, groupes, représentations des groupes).
  • Être à l'aise avec le calcul matriciel.
  • Savoir faire des calculs élémentaires dans les groupes finis (par ex : ordre d'un élément ou classes de conjugaison).
  • Maîtriser le calcul des caractères (par ex : savoir décomposer un caractère donné en irréductibles).
  • Savoir mettre en œuvre ces techniques pour résoudre des problèmes concrets (par ex : calculer les modes propres de vibration d'une molécule).

Pré-requis recommandés

Il est indispensable d'être assez à l'aise avec les nombres complexes : les "révisions" iront très vite. Il est vivement recommandé d'avoir suivi et assimilé un cours d'algèbre linéaire en L1 (applications linéaires, calcul matriciel). Nous ferons quelques révisions mais, là aussi, ce sera rapide et nous ne reverrons certainement pas tout le cours.

Volume horaire

  • CM : 21
  • TD : 28.5
  • TP : 0

Syllabus

Pour les révisions (nombres complexes, algèbre linéaire) et les isométries, il y a beaucoup d'ouvrages de référence.
Je vous en propose quelques-uns ci-dessous mais bien sûr d'autres livres feraient parfaitement l'affaire. N'hésitez pas à
chercher un peu dans les rayonnages de la BU.

Révisions : Le livre "Mathématiques L1" publié chez Pearson, (auteurs : Boualem, Brouzet, Elsner, Kaczmarek, Pennequin) contient tout ce qu'il faut.
Consultez le paragraphe 5 pour les nombres complexes, et les paragraphes 15 à 20 pour l'algèbre linéaire.

Isométries : Maths - MPSI - 1ère année, de Marie Allano-Chevalier et Xavier Oudot, publié chez Hachette, collection H Prépa.
Le paragraphe 29, "Automorphismes orthogonaux", recouvre l'essentiel de ce que nous verrons en cours sur les isométries linéaires.

Groupes et représentations des groupes : Paul Walton, "Théorie des groupes pour la chimie". La référence principale pour ce cours.

Diplômes intégrant cette UE

En bref

Crédits ECTS 5

Nombre d'heures 49 HE

Période de l'année
S3

Langue d'enseignement
fr

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Contact(s) administratif(s)

Sylvain BROCHARD (sylvain.brochard @ umontpellier.fr)