Analyse Numérique Matricielle

Analyse Numérique MatricielleCode de l'UE : HLMA405

Présentation

I/ Rappels et compléments d'algèbre linéaire.

Vision géométrique d'une matrice: lien avec l'application linéaire associée dans la base canonique. Produit scalaire euclidien sur Rn et hermitien sur Cn. Rappel sur le supplémentaire orthogonal d'un sev. Application linéaire auto adjointe et matrice symétrique (resp. hermitienne). Etude de la complexité des formules de Cramer. Intérêt théorique mais aucune utilité pratique, même avec l'ordinateur le plus puissant actuellement (40 Petaflops).

II/ Méthodes directes de résolution de systèmes linéaires.

Résolution des systèmes triangulaires par substitution. Méthode d'élimination de Gauss.
Méthode de Cholesky pour les matrices symétriques définies positives.

III/ Conditionnement.

Conditionnement et propagation d'erreur d'arrondis. Exemples de systèmes mal conditionnés.
Normes matricielles usuelles subordonnées: norme infinie, norme 1 et norme 2.
Calcul de ces normes. Définition de la norme de Frobenius.
Comparaison explicite de la norme de Frobenius avec la norme 2.
Equivalence des diverses normes matricielles.

IV/ Méthodes itératives de résolution de système linéaire.

Décomposition de matrice A= S-T. Méthodes de Jacobi et Gauss-Seidel.
CNS de convergence en termes de rayon spectral de  S-1T
Démonstration de la convergence en supposant que S-1T est diagonalisable
Condition suffisante de convergence en termes de normes matricielles.

V/  Décomposition de valeurs singulières.

VI/  Méthode des moindres carrés.

VII/  Valeurs propres. Statistique
Méthode de la puissance et de la puissance inverse.
Localisation (Gershgorin)

Volume horaire

  • CM : 21
  • TD : 12
  • TP : 16.5
Diplômes intégrant cette UE

En bref

Crédits ECTS 5

Nombre d'heures 49 HE

Période de l'année
S4

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