Elements de Théorie des Anneaux et des Corps

Elements de Théorie des Anneaux et des CorpsCode de l'UE : HLMA604

Présentation

Anneaux (uniquement commutatifs), groupe des éléments inversibles, anneaux intègres. Exemples, A[X], A[X,Y] etc..

Définition d'un corps.

Sous-anneaux, sous-anneau engendré par une partie ; idéaux, idéal propre, idéal engendré par une partie, anneau produit, morphismes d'anneaux, comportement des idéaux par un morphisme. Exemples.

Anneau quotient. Théorème d'isomorphisme. Théorème chinois.

Idéal premier, idéal maximal, idéal principal. Exemples et contrexemples (parmi les exemples doit figurer Z[X]). L'idéal est premier (maximal) si le quotient est un anneau intègre (un corps).

Idéaux de Z. L'anneau Z/nZ est un corps si et seulement si n est premier. Applications : le théorème de Wilson, le petit théorème de Fermat. Groupe des éléments inversibles de Z/nZ. Application : le petit théorème de Fermat généralisé.

Corps de fractions d'un anneau intègre.

Eléments nilpotents et idempotents.

Divisibilité dans un anneau intègre. Eléments irréductibles et premiers.

Anneaux principaux et euclidiens. Exemples Z, K[X] et Z[i]. L'exemple de Z[i] sera développé (norme, éléments inversibles, éléments premiers, décomposition des nombres premiers de Z dans Z[i] ; le corps de fractions de Z[i] est Q[i]).

Définition des anneaux factoriels avec pour exemple Z[X]. 

Notion de caractéristique d'un anneau ou d'un corps. Une extension de corps L/K fait de L un K espace vectoriel. Application : un corps fini est un extension finie d'un Z/pZ et a donc toujours pn éléments.

Volume horaire

  • CM : 21
  • TD : 28.5
  • TP : 0
Diplômes intégrant cette UE

En bref

Crédits ECTS 5

Nombre d'heures 51 HE

Période de l'année
S6

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