Compléments d'analyse

Compléments d'analyseCode de l'UE : HLMA412

Présentation

I/ Cardinalité-Dénombrabilité (3hCM + 3hTD)

Injection, surjection, bijection (rappels).
Equivalence entre il existe "une injection de E dans F" et "une surjection de F dans E".
Equipotence. Cardinal. Théorème de Cantor Bernstein (admis).
Le cardinal d'un ensemble fini s'identifie à son nombre d'éléments.
card ({0,1}E ) =  card (P(E)) >  card(E). Pas de borne sup en termes de cardinaux.
Ensemble dénombrable (i.e. injectable dans N) : définition et exemples.
Tout ensemble infini dénombrable est en bijection avec N.
Un produit fini de dénombrables est dénombrable.
Une union dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable.
{0,1}N et tout intervalle non vide de R sont non dénombrables.

 

II/ Topologie de Rd (9hCM + 10,5hTD)

  1) Sur R

Suites réelles convergentes (dans [-∞,+∞]).
Toute suite monotone converge (dans [-∞,+∞]).
limsup/liminf : définitions et propriétés.
Equivalence entre "la suite converge" et "limsup=liminf".
Suites extraites. Valeurs d'adhérences.
Caractérisation des limsup/liminf comme valeurs d'adhérences.
Suites de Cauchy dans R. Incomplétude de Q. Complétude de R (admise).
Ouverts de R. Voisinages. Fermés de R (définition topologique et caractérisation séquentielle). Compacts de R (définition séquentielle uniquement et équivalence entre compact et fermé borné).

 2) Sur Rd

Normes ℓ¹, ℓ² et ℓ  sur Rd.  Equivalence de ces trois normes.
Suites convergentes dans Rd. Suites de Cauchy dans Rd. Complétude de Rd.
Ouverts de Rd. Voisinages. Fermés de Rd (définition topologique et caractérisation séquentielle). Compacts de Rd (définition séquentielle uniquement et équivalence entre compact et fermé borné).

 3) Fonctions continues de Rd dans Rp

3.1) Généralités :
Définition de la continuité (par les suites). Exemples.
Equivalence entre "f continue" et "l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert". Equivalence entre "f continue" et "chaque composante de f est continue".

3.2) Propriétés d'une fonction  f continue de K, compact de Rd, à valeurs dans Rp.

      a) Uniforme continuité.

      b) f(K) est compact.

      c) Pour p=1 : f est bornée et atteint ses bornes

Objectifs

Introduire, dans un cadre concret, des définitions et démonstrations utilisant la théorie des ensembles et mettant en jeu la notion de limite dans le but de  favoriser auprès des étudiants l’acquisition de raisonnements et le développement de l’intuition sur des concepts qui seront à la base de l’analyse enseignée en L3.

Volume horaire

  • CM : 12
  • TD : 13.5
  • TP : 0
Diplômes intégrant cette UE

En bref

Crédits ECTS 2.5

Niveau d'étude BAC +2

Période de l'année
S4

Langue d'enseignement
fr

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