Théorie de la Mesures et Intégration

Théorie de la Mesures et IntégrationCode de l'UE : HLMA503

Présentation

I/ Elément de théorie des ensembles.

II/ Espace mesuré.

  1. Définition, Exemple des mesures discrètes
  2. Propriétés générales des mesures
  3. Construction d'espace mesuré (Tribu engendrée. Tribu borélienne, Théorème de Carathéodory (admis)), caractérisation d’une mesure sur un pi système
  4. Mesure de Lebesgue sur (R,B(R)) : Existence et propriétés
  5. Mesures produits. Exemple de la mesure de Lebesgue sur (R?,B(R?))

III/ Fonctions mesurables.

  1. Définition de la mesurabilité.
  2. Critères de mesurabilité.
  3. Mesure image d'une mesure par une fonction mesurable
  4. Fonctions simples.
  5. Densité des fonctions simples dans l'ensemble des fonctions mesurables positives.

IV/ Construction de l'intégrale de Lebesgue et théorèmes d'interversion limite-intégrale

  1. Construction de l'intégrale (sur l'ensemble des fonctions mesurables positives et sur l'espace L¹), Propriétés (linéarité, croissance, inégalité de Markov ...), mesure à densité
  2. Théorèmes d'interversions limite-intégrale (cv monotone, Fatou, cv dominée)
  3. Intégrale dépendant d'un paramètre : critères de continuité et de dérivabilité
     

V/ Quelques cas particuliers importants

  1. Intégration et mesure produit : le Théorème de Fubini
  2. Intégration et mesure discrète : application aux séries
  3. Intégration et mesure de Lebesgue sur (R?, B(R?)) (extension de l’intégration de Riemann, changement de variable)
  4. Intégration et mesure à densité
  5. Intégration et mesure image : le Théorème de transfert

VI/ Espaces Lp

  1. Définition. Inégalités de Holder et de Minkowski.
  2. Lp est un Banach, L² un Hilbert

Volume horaire

  • CM : 36
  • TD : 39
  • TP : 0
Diplômes intégrant cette UE

En bref

Crédits ECTS 7.5

Langue d'enseignement
fr