Algèbre linéaire 2

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Algèbre linéaire 2Code de l'UE : HLMA201

Présentation

I/ Espaces vectoriels 
Structure d'espace vectoriel (K=Q, R ou C), espaces Rn et Cn, espace des suites réelles, espace des fonctions numériques, combinaisons linéaires et colinéarité, sous-espace vectoriel, sous-espace vectoriel engendré par une partie familles génératrices, familles libres, bases, dimension, théorème de la base incomplète et de l'échange (sans démonstration). Somme et somme directe de sous-espaces, supplémentaire.

II/ Applications linéaires 
Noyau et image, correspondance application linéaire matrice avec toutes les propriétés usuelles. Changement de base. Invariance de la trace par changement de base et définition de la trace d'un endomorphisme, tr(uv)=tr(vu). Isomorphisme et application linéaire réciproque. Ensembles GL(E) et GL(n). Retour sur les systèmes linéaires, et retour sur homothéties, rotations, similitudes, symétries, projections.

III/ Rang des lignes et rang des colonnes d'une matrice
Théorème du rang. Formule de Grassmann.

IV/ Polynômes 
Coefficients, degré, racines. Espaces R[X], C[X], Rn[X] et Cn[X] comme exemples d'espaces vectoriels. Changement de base de la base des monômes dans une base du type 1, X-a, (X-a)², (X-a)³,... Si a est une racine de P, alors il existe Q tel que P = (X-a)Q. Polynômes interpolateurs de Lagrange comme illustrations du théorème du rang.

V/Sous espaces affines de Rn et de Cn
Sous-espaces parallèles, sous-espace vectoriel directeur. Dimension d'un sous-espace affine de Rn (ou Cn). Repère vs. Base. Hyperplan affine, hyperplan vectoriel, définition par équation linéaire. Liens avec les solutions des systèmes linéaires. Applications affines.

VI/ Produit scalaire dans Rn, définition d'une isométrie affine, exemples. Lien entre équation d'un hyperplan affine et son vecteur normal.

Volume horaire

  • CM : 36
  • TD : 39
  • TP : 0
Diplômes intégrant cette UE

En bref

Crédits ECTS 7.5

Nombre d'heures 75 HE

Période de l'année
secondSemestre