Algèbre II, espaces vectoriels et applications linéaires

  • ECTS

    6 crédits

  • Composante

    Faculté des Sciences

  • Volume horaire

    60h

Description

Cette fait suite à l’UE de S1 (Algèbre I) où ont été introduits algèbre linéaire dans R², R³ et Rn, calcul matriciel et polynômes à coefficients réels.

L’objectif est d’introduire quelques concepts élémentaires de structure algébrique, et approfondir le travail sur les espaces vectoriels et les applications linéaires, ainsi que les polynômes.

Lire plus

Objectifs

- Les structures en algèbre

  • Loi de composition interne sur un ensemble
  • Notion d'associativité, de commutativité, d'élément neutre, d'inverse
  • Notion de groupe, d'anneau et de corps
  • Calcul dans un anneau. Identités remarquables et formule du binôme.
  • Exemples (C est un corps,  racines de l’unité, groupe des permutations, anneau des polynômes et des endomorphismes/matrices, groupe des automorphismes/matrices inversibles et sous-groupe des isométries, etc.)

- La structure d'espace vectoriel

  • Structure d'espace vectoriel sur un corps K. Cas Rn et Cn, espace des suites réelles, espace des fonctions numériques
  • Combinaisons linéaires et colinéarité
  • Sous-espace vectoriel, sous- espace vectoriel engendré par une partie familles génératrices, familles libres, bases, dimension, théorème de la base incomplète et de l'échange
  • Somme et somme directe de sous-espaces, supplémentaire.
  • Rang d'une famille de vecteurs
  • Formule de Grassmann

- Applications linéaires

  • Noyau et image
  • Correspondance application linéaire matrice avec toutes les propriétés usuelles.
  • Changement de base
  • Invariance de la trace par changement de base et définition de la trace d'un endomorphisme, tr(uv)=tr(vu).
  • Isomorphisme et application linéaire réciproque. Groupes GL(E) et GL(n).
  • Projection, symétrie, homothétie
  • Rang d'une application linéaire, rang d'une matrice. Théorème du rang. Invariance du rang par composition/multiplication par des matrices inversibles
  • Forme échelonnée réduite d'une matrice, opérations élémentaires
  • Retour sur les systèmes linéaires, lien rang d'une matrice/nombre de pivots de sa forme échelonnée réduite, dimension du noyau/nombre de variables libres

- Polynômes

  • Retour sur K[X], vu comme espace vectoriel
  • Cas de Kn[X] : changement de bases, décomposition des polynômes dans des bases du type 1,X-a,(X-a)2...
  • Preuve de a racine de P ssi il existe Q tel que P=(X-a)Q
  • Formule de Taylor, caractérisation de la multiplicité des racines
  • Polynômes interpolateur de Lagrange
  • Substitution de l'indéterminée
Lire plus

Pré-requis nécessaires

Programme de mathématiques du S1, et en particulier Algèbre I, Géométrie dans le plan et plan complexe, et Raisonnement et théorie des ensembles.

 

Pré-requis recommandés :

Programme de mathématiques du S1.

Lire plus

Informations complémentaires

Volumes horaires :

            CM : 30 h

            TD : 30 h

            TP : 0

            Terrain : 0

Lire plus