• ECTS

    6 crédits

  • Composante

    Faculté des Sciences

  • Volume horaire

    60h

Description

Cette UE vise à présenter les concepts élémentaires d’arithmétique et de dénombrement utiles pour le début de la licence en mathématiques.

Lire plus

Objectifs

Dénombrement élémentaire

  • Cardinal d’un ensemble fini. Cardinal et opérations ensemblistes. Cardinal et applications injectives, surjectives, bijectives. Cardinal d’un ensemble d’applications. Nombre de parties d’un ensemble. Fonction indicatrice.
  • Introduction aux cardinaux infinis. Bijection entre ensembles. Dénombrabilité. Argument diagonal de Cantor. X et P(X) n’ont pas le même cardinal. R est indénombrable.
  • Arrangements, permutations, combinaisons (coefficients binomiaux), triangle de Pascal, formule du binôme.
  • Formule du crible générale (application au dénombrement des dérangements, des surjections, etc.).
  • Relation binaire sur un ensemble. Relation d’équivalence, partition en classes d’équivalence, quotient d’un ensemble par une relation d’équivalence (exemples sur des ensembles déjà connus). Relation d’ordre, partiel, total, exemples.
  • Applications à des exemples de probabilités élémentaires finies (nombre de cas favorables/nombre de cas total)

 

Arithmétique élémentaire dans Z

  • Nombres entiers, écriture dans une base.
  • Divisibilité, nombres premiers (infinitude, algorithme du crible). Division euclidienne (algorithme d’Euclide).
  • PGCD et PPCM. Théorème de Bézout (et algorithme d’Euclide étendu), nombres premiers entre eux, lemme d’Euclide, lemme de Gauss. Équations diophantiennes ax + by = c. Décomposition en produit de nombres premiers. Application : pour n ∈ N,  est soit un entier soit irrationnel.
  • Arithmétique modulaire (congruences). Petit théorème de Fermat. Théorème chinois des restes.
  • Étude de Z/nZ, vu comme anneau. Inversibles, Z/nZ est un corps si et seulement si n est premier. Réinterprétation du théorème de Bézout. Réinterprétation du petit théorème de Fermat (définition de l’indicatrice d’Euler, théorème d’Euler). Réinterprétation du théorème chinois des restes.
  • Illustration par la cryptographie.
Lire plus

Pré-requis nécessaires

Programme de mathématiques du S1 (principalement Raisonnement et théorie des ensembles) et programmes de mathématiques du lycée (a minima spécialité mathématiques de première)

 

Pré-requis recommandés :

Programme de mathématiques du S1 (principalement Raisonnement et théorie des ensembles) et programmes de mathématiques du lycée (idéalement spécialité mathématiques de terminale, voire option mathématiques expertes.)

Lire plus

Informations complémentaires

Volumes horaires* :

            CM : 30 h

            TD : 30 h

            TP : 0

            Terrain : 0

Lire plus