Licence 2 CPES Modélisation et numérique en sciences de la matière

Programme de mathématiques de la deuxième année, partie enseignée au Lycée Joffre :

# Rappels d'algèbre linéaire et compléments de géométrie euclidienne

# Probabilités avancées

# Compléments d’analyse des fonctions d’une variable

# Fonctions de plusieurs variables

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L’oscillateur est un concept essentiel en physique : la matière est modélisée souvent par une collection d’oscillateurs (harmoniques ou non) en interaction entre eux et avec le milieu extérieur. Celui-ci agit sur la matière par l’intermédiaire d’une onde, comme une onde acoustique, ou électromagnétique. Cela permet de poser les bases théoriques des problèmes d’inter- action rayonnement-matière et ainsi de construire un des outils fondamentaux pour l’étude de la matière (au sens large) : la spectroscopie.

La spectroscopie est en effet l’outil de base pour l’étude des propriétés physiques des objets qui nous entourent, comme une molécule, un cristal, une étoile, une galaxie. Ces propriétés sont déduites soit de leur émission spontanée, soit de leur réponse à une excitation externe. Par exemple on mesure les propriétés d’absorption, de réflection, de transmission d’un rayonnement électromagnétique appliqué (visible, infra-rouge, X, neutrons, ...). La réponse à ce rayonnement est alors un moyen de découvrir quels sont les divers types d’oscillateurs constituant le milieu étudié.

 En somme, l’étude des milieux physiques qui nous entourent passe par l’utilisation de deux outils théoriques fondamentaux : les oscillateurs et les ondes, qui constituent justement le sujet de ce cours.  

Le principe adopté ici est une progression pas à pas à partir de l’oscillateur harmonique, puis d’oscillateurs couplés, jusqu’aux ondes traitées dans le cadre de systèmes discrets : oscillateurs couplés infinis puis finis avec différentes conditions aux bords.

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Compléments d'algèbre linéaire, théorie de la réduction et applications 

# Compléments d'algèbre linéaire, notion de somme directe

# Déterminants

# Réduction : diagonalisation et applications à l'étude de systèmes dynamiques discrets et continus en physique, chimie, biologie ou économie.

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Cet enseignement poursuit la formation des étudiant-e-s en mathématiques appliquées avec un focus sur les méthodes numériques.

Programme (pourra être modifié selon les années et le temps disponible) :

# analyse numérique matricielle

# intégration numérique

# résolution numérique des équations diférentielles

# initiation à l'étude qualitative d'équations différentielles non linéaires

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Ce module complète et formalise les notions de thermodynamique introduites par l'UE de Thermodynamique 1,en approfondissant  plusieurs aspects : potentiels thermodynamiques définis à partir de transformations de Legendre, thermodynamique des systèmes ouverts, transitions de phase du corps pur et des processus irréversibles, avec des incursions au niveau microscopique afin de donner un aperçu des fondements physiques de la théorie.

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Cette UE suivie uniquement par les étudiants de la voie Sciences de la matière du CPES. Elle comprend une partie mathématique et une partie chimique, autour de la notion de groupe de symétrie (d'une molécule chimique) et son application à la détermination des orbitales moléculaires par combinaison linéaire d'orbitales atomiques.

Programme indicatif :

# initiation à la théorie des groupes, groupes finis, groupes de symétrie de moldécules

# représentations linéaires de groupes, théorie des caractères et applications aux orbitales moléculaires ou aux modes de vibration d'une molécule

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Le cours d'informatique de 2e année dispensé au Lycée est centré sur les concepts avancés en algorithmique et programmation :

# Structures de données arborescentes : arbres binaires, tas, ABR, files de priorité

# Tri par tas, borne inférieure sur le tri

# Structure de graphes : représentations (matrices d’adjacence, listes d’arêtes, listes de voisins)

# Algorithmes de bases (connexité, parcours profondeurs et largeurs, tri topologique)

# Calcul de distance (Dijkstra, implémentation avec tas)

# Introduction à la programmation objet (encapsulation, liaison tardive, classes, méthodes, etc.)

# Programmation en Python

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Programme enseigné au Lycée Joffre lors de la 2e année

# Mécanique du solide (statique, dynamique, pas les torseurs)

# Électromagnétisme dans le vide

# Optique diffraction, optique Fourier

# Ondes et rayonnement, diffusion des ondes.

# Cinétique et thermochimie, intro à l’électrochimie

# Chimie organique : quelques mécanismes réactionnels se prêtant bien à la modélisation quantique avec orbitales frontières

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Cette UE complète la formation en informatique en ouvrant vers l'étude des systèmes d'information et bases de données (conception des traitements dans un système d’information et la gestion de bases de données relationnelles) :

# Systèmes d’information : introduction du modèle entité/association, modèle relationnel, modélisation des traitements (modèle conceptuel de traitement, modèle organisationnel de traitement)

# Bases de Données : création, manipulation et interrogation de BD relationnelles.

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Comme en première année,; cet enseignement est constitué de projets tuteurés avec acquisition, traitement et interprétation des données : l’approche conjugue les méthodes numériques, les idées mathématiques et la modélisation.

Les thèmes d'étude pourront évoluer d'année en année, afin de renouveler les intérêts des étudiants.

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Cet enseignement de langue vivante est axé sur la pratique écrite et orale de l'anglais, avec une insistance particulière sur l'expression orale.

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Culture générale (épistémologie et philosophie) :

# histoire des idées

# épistémologie des sciences et du numérique

#argumentatition et communicatition

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Culture générale (épistémologie et philosophie) :

# histoire des idées

# épistémologie des sciences et du numérique

#argumentatition et communicatition

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Initiation à l’utilisation de méthodes de fouille de données :

# Motivations, domaines d’application

# Tâches de fouille de données (classification, estimation, prédiction, etc.)

# Traitement sur les données (pré/post-traitements)

# Apprentissage supervisé (méthode de Bayes, k plus proches voisins, réseaux de neurones, etc.)

# Apprentissage non supervisé (k-means)

# Évaluation des méthodes

# Logiciels de fouille de données (R, Scikit, Weka, etc.)

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Programme de mathématiques de la deuxième année, partie enseignée au Lycée Joffre :

# Rappels d'algèbre linéaire et compléments de géométrie euclidienne

# Probabilités avancées

# Compléments d’analyse des fonctions d’une variable

# Fonctions de plusieurs variables

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Programme enseigné au Lycée Joffre lors de la 2e année

# Mécanique du solide (statique, dynamique, pas les torseurs)

# Électromagnétisme dans le vide

# Optique diffraction, optique Fourier

# Ondes et rayonnement, diffusion des ondes.

# Cinétique et thermochimie, intro à l’électrochimie

# Chimie organique : quelques mécanismes réactionnels se prêtant bien à la modélisation quantique avec orbitales frontières

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La première partie de cet enseignement présente les bases de la chimie quantique pour les chimistes et les physico-chimistes. Il commence par reprendre les principes de la mécanique quantique et sont équation maître qu’est l’équation de Schrödinger. La résolution de l’équation de Schrödinger dans des cas simples et les notions de fonctions d’onde, de quantification sont présentées e tillustrés dans des cas simples. L’atome d’hydrogène est alors étudié.

L’enseignement se penche aussi sur les méthodes d’approximations qui permettent de déterminer les propriétés de systèmes complexes où l’équation de Schrödinger ne peut pas être résolue directement. L’effet du spin sur les propriétés électroniques des atomes et molécules sera aussi abordé.

La seconde partie de cet enseignement s’intéresse à la description quantique des propriétés moléculaires et de la réactivité. La construction qualitative des orbitales moléculaires en utilisant les propriétés de symétrie sera introduite et le lien entre diagramme d’orbitale moléculaire et liaison chimique est fait. Le lien entre géométrie moléculaire et structure électronique sera abordé. Cet enseignement s’intéressera ensuite à la méthode d’Huckel qui permet d’obtenir des diagrammes d’orbitales moléculaires des systèmes π. Les notions classiques de conjugaison, délocalisation, de caractère donneur ou accepteur et d’aromaticité seront ainsi étudié dans cette approche. La théorie des orbitales frontières est utilisée pour rationaliser la réactivité moléculaires (cycloadditions, électrocyclisation) et les géométries moléculaires.

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Cet enseignement poursuit la formation des étudiant-e-s en mathématiques appliquées, notamment l'usage des outils statistiques :

# Notions de populations et d'échantillons aléatoires.

# Estimateurs.

#Erreur quadratique moyenne et décomposition biais – variance.

# Estimateurs empiriques de la moyenne et de la variance. Construction d’estimateurs par la méthode des moments. Maximum de vraisemblance.
Estimation par intervalle.

# Tests d'hypothèses : hypothèse nulle, hypothèse alternative. Erreurs de première et de seconde espèce. Puissance d’un test. Statistique de test, région de rejet. Exemples de tests classiques.

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Cet enseignement, similaire dans l'esprit au projet de première année, est une initiation à la démarche de recherche, plus poussée qu'en première année : il comprend une immersion dans un laboratoire de recherche, une étude bibliographique, et la réalisation d'un projet impliquant l'étude d'un contexte physique ou chimique, l'acquisition de données expérimentales ou d'observation, et la mise en oeuvre d'une démarche de modélisation et/ou de simulation numérique.

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Ce module constitue une introduction à la démarche de se servir des outils informatiques en Physique : il s’agit d’analyser un phénomène, de l’idéaliser/modéliser, puis de l’étudier sur ordinateur. L’interprétation critique des résultats en fait également partie.  Les exemples abordés sont choisis en rapport avec les autres matière d’actualité dans la formation.

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Ce cours aborde les outils théoriques permettant la description des quantités distribuées et conservées, comme une densité, une énergie ou une densité de charge.

Le premier chapitre introductif présente l'équation de conservation générale, et les outils d'analyse vectorielle nécessaires à sa compréhension, ainsi que les différents domaines où cette équation intervient (pratiquement toute la physique mais aussi la chimie l'économie...).

Les chapitres suivants sont principalement consacrés au cas à une dimension d'espace et une de temps (1+1 D). Dans le chapitre 2, on aborde le transport convectif, et on présente la méthode des caractéristiques pour résoudre l'équation aux dérivées partielles quasi linéaire du premier ordre correspondante. Le transport diffusif est alors étudié au chapitre 3, avec l'équation de la chaleur et la méthode de résolution de Fourier. Enfin le chapitre 4 consacré aux équations de réactions-diffusion considère le cas du transport convectif et diffusif avec l'équation de Smoluchowsky, et la dérivation de la fameuse équation d'Einstein pour la diffusion.

Le cours est accompagné de travaux dirigés théoriques et numériques, abordant par exemple la modélisation du trafic routier et des queues.

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Le cours d'informatique de 2e année dispensé au Lycée est centré sur les concepts avancés en algorithmique et programmation :

# Structures de données arborescentes : arbres binaires, tas, ABR, files de priorité

# Tri par tas, borne inférieure sur le tri

# Structure de graphes : représentations (matrices d’adjacence, listes d’arêtes, listes de voisins)

# Algorithmes de bases (connexité, parcours profondeurs et largeurs, tri topologique)

# Calcul de distance (Dijkstra, implémentation avec tas)

# Introduction à la programmation objet (encapsulation, liaison tardive, classes, méthodes, etc.)

# Programmation en Python

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Comme en première année,; cet enseignement est constitué de projets tuteurés avec acquisition, traitement et interprétation des données : l’approche conjugue les méthodes numériques, les idées mathématiques et la modélisation.

Les thèmes d'étude pourront évoluer d'année en année, afin de renouveler les intérêts des étudiants.

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Cet enseignement de langue vivante est axé sur la pratique écrite et orale de l'anglais, avec une insistance particulière sur l'expression orale.

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