Algèbre et Analyse 1

Algèbre et Analyse 1Code de l'UE : HLMA101

Présentation

Généralités

I/ Ensembles et applications

1) Notions de base sur les ensembles (définition intuitive, égalité, ensemble vide, inclusion, définition par extension, en compréhension, paramétrique).

2) Opération ensemblistes (ensemble des parties, union, intersection, complémentaires), produit cartésien.

3) Notion de base sur les applications (définition intuitive, définition formelle, image et préimage d'une partie, graphe, composition, injections, surjections, bijections, restrictions).

II/ Quelques méthodes de démonstration :
Implication, équivalence par double implication (égalité d'ensemble par double inclusion...), démonstration par l'absurde, contraposée, démonstration par récurrence.

Algèbre Linéaire

I/ Géométrie élémentaire de R² et R³ :

1) Droites du plan et de l'espace (lien entre définition par point + vecteur non-nul et définition par équations linéaires), plans de l'espace (lien entre définition par point + combinaisons linéaires de deux vecteurs non colinéaires et équation linéaire).

2) Produit scalaire dans R², R³, produit vectoriel et orientation.

3) Isométries de R², R³ ; homothéties, rotations, similitudes, symétries, projections.

4) Interprétation géométriques des nombres complexes : conjugaison, z→z+a, z→uz+w.

II/ Matrices à coefficients réels ou complexes et Vecteurs.

Calcul matriciel : produit matriciel, produit matrice par vecteur colonne (resp. vecteur ligne par matrice) = combinaison linéaire de colonnes (resp. combinaison de ligne), inversion, transposition. Trace d'une matrice, tr(AB)=tr(BA).

Opérations élémentaires et description par multiplication par des matrices élémentaires. Méthode du pivot de Gauss pour inverser une matrice. Systèmes linéaires à coefficients réels ou complexes (en exercices, on pourra préparer à la notion de dimension à travers la recherche du nombre minimal de paramètres nécessaires pour décrire complètement l'ensemble des solutions d'un système linéaire, mais aucune théorie ne sera présente).

Applications linéaires de Rⁿ dans R^p définies comme multiplication d'une matrice par un vecteur. Préservation de la colinéarité, des combinaisons linéaires. Lien avec les systèmes linéaires. Noyau, injectivité. Exemples ; écriture matricielle de transformations géométriques usuelles de R² et de R³ (en lien avec l'écriture matricielle des nombres complexes). (On pourra faire quelques changements de base en exercice mais aucune théorie sur ce sujet ne sera présente dans le cours).

Analyse

I/ Nombres réels

1) Les ensembles usuels de nombres

2) max et sup d’une partie

3) Les réels

4) Densité des rationnels et des décimaux

II/ Limite, continuité et dérivabilité de fonctions réelles

1) Définitions

2) Opérations sur les limites

3) Convergence des fonctions monotones

4) Comparaison de fonctions

5) Continuité en un point

6) Continuité sur un intervalle

7) Théorème des valeurs intermédiaires

8) Taux d’accroissement et dérivée

9) Opération sur les dérivées

10) Théorème de Rolle (en admettant le fait qu’une fonction continue atteint ses bornes sur un intervalle fermé borné) et Théorème des accroissements finis

III/ Quelques fonctions usuelles (applications en calculus)

1) Fonction puissance

2) Exponentielle et logarithme

3) Fonctions trigonométrique et leur réciproque

Calculus

Dénombrement

Identités remarquables

Dérivées, primitives

Calcul d’intégrales

Etude de fonctions

Nombres complexes

Equations différentielle du premier ordre

Volume horaire

CM : 42
TD : 48
TP : 0

Diplômes intégrant cette UE

En bref

Crédits ECTS 10

Nombre d'heures 99 HE

Période de l'année
premierSemestre

Contact(s)

Composante

Faculté des Sciences

Responsable(s)

Sylvain BROCHARD (Sylvain.Brochard @ univ-montp2.fr)