ECTS
6 crédits
Composante
Faculté des Sciences
Description
Cette fait suite à l’UE de S1 (Algèbre I) où ont été introduits algèbre linéaire dans R², R³ et Rn, calcul matriciel et polynômes à coefficients réels.
L’objectif est d’introduire quelques concepts élémentaires de structure algébrique, et approfondir le travail sur les espaces vectoriels et les applications linéaires, ainsi que les polynômes.
Objectifs
- Les structures en algèbre
- Loi de composition interne sur un ensemble
- Notion d'associativité, de commutativité, d'élément neutre, d'inverse
- Notion de groupe, d'anneau et de corps
- Calcul dans un anneau. Identités remarquables et formule du binôme.
- Exemples (C est un corps, racines de l’unité, groupe des permutations, anneau des polynômes et des endomorphismes/matrices, groupe des automorphismes/matrices inversibles et sous-groupe des isométries, etc.)
- La structure d'espace vectoriel
- Structure d'espace vectoriel sur un corps K. Cas Rn et Cn, espace des suites réelles, espace des fonctions numériques
- Combinaisons linéaires et colinéarité
- Sous-espace vectoriel, sous- espace vectoriel engendré par une partie familles génératrices, familles libres, bases, dimension, théorème de la base incomplète et de l'échange
- Somme et somme directe de sous-espaces, supplémentaire.
- Rang d'une famille de vecteurs
- Formule de Grassmann
- Applications linéaires
- Noyau et image
- Correspondance application linéaire matrice avec toutes les propriétés usuelles.
- Changement de base
- Invariance de la trace par changement de base et définition de la trace d'un endomorphisme, tr(uv)=tr(vu).
- Isomorphisme et application linéaire réciproque. Groupes GL(E) et GL(n).
- Projection, symétrie, homothétie
- Rang d'une application linéaire, rang d'une matrice. Théorème du rang. Invariance du rang par composition/multiplication par des matrices inversibles
- Forme échelonnée réduite d'une matrice, opérations élémentaires
- Retour sur les systèmes linéaires, lien rang d'une matrice/nombre de pivots de sa forme échelonnée réduite, dimension du noyau/nombre de variables libres
- Polynômes
- Retour sur K[X], vu comme espace vectoriel
- Cas de Kn[X] : changement de bases, décomposition des polynômes dans des bases du type 1,X-a,(X-a)2...
- Preuve de a racine de P ssi il existe Q tel que P=(X-a)Q
- Formule de Taylor, caractérisation de la multiplicité des racines
- Polynômes interpolateur de Lagrange
- Substitution de l'indéterminée
Pré-requis nécessaires
Programme de mathématiques du S1, et en particulier Algèbre I, Géométrie dans le plan et plan complexe, et Raisonnement et théorie des ensembles.
Pré-requis recommandés :
Programme de mathématiques du S1.
Informations complémentaires
Volumes horaires :
CM : 30 h
TD : 30 h
TP : 0
Terrain : 0