ECTS
6 crédits
Composante
Faculté des Sciences
Description
Acquérir les notions de base des théories des groupes et des anneaux et les illustrer sur des exemples.
Objectifs
Cette UE abordera les points suivants :
Théorie des groupes
- Notion de groupe, sous-groupe et morphismes de groupes. Produit de groupes. Exemples.
- Sous-groupe engendré par une partie, sous-groupe cyclique. Ordre d’un élément dans un groupe, théorème de Lagrange, indice d’un sous-groupe.
- Étude de Z/nZ : théorème chinois des restes, petit théorème de Fermat, théorème de Wilson. Générateurs et sous-groupes de Z/nZ, indicatrice d’Euler, théorème d’Euler
- Étude du groupe diédral. Étude du groupe symétrique et alterné.
Théorie des anneaux
- Notion d’anneau, d’anneau intègre, de corps. Produit d’anneaux. Groupe des inversibles d’un anneau. Algèbres sur un corps. Exemples.
- Sous-anneau, sous-anneau engendré par une partie. Morphismes d’anneaux. Corps des fractions d’un anneau intègre.
- Caractéristique d’un anneau, morphisme de Frobenius, cas des corps finis.
- Idéal d’un anneau commutatif, idéal principal, anneau principal
- Divisibilité dans les anneaux intègres : éléments irréductibles et premiers, PGCD, PPCM. Anneaux principaux, anneaux euclidiens, anneaux factoriels.
- Lemme de Gauss et hérédité de la factorialité
Pré-requis nécessaires
Les UE d’algèbre de L1 et L2, en particulier :
- HAX303X Arithmétique des polynômes
Pré-requis recommandés : L2 maths
Informations complémentaires
Volumes horaires :
CM : 27
TD : 27
TP : -
Terrain : -