ECTS
7 crédits
Composante
Faculté des Sciences
Description
Introduire les notion de base de la topologie et leur utilisation pour l’étude des espaces fonctionnels.
Objectifs
Cette UE abordera les points suivants :
- Espaces métriques et topologiques : définition, limites et continuité. Ouverts, fermés, voisinages. Intérieur et adhérence d’une partie, densité. Topologie produit et topologie quotient.
- Connexité : définition, connexes de R. Image continue d’un connexe. Connexité par arc, convexité dans un espace vectoriel normé. Composantes connexes
- Compacité : définition. Les compacts de Rn. Image continue d’un compact. Théorème de Bolzano-Weierstrass. Théorème d’Ascoli.
- Complétude : suites de Cauchy dans un espace métriques, définition d’un espace métrique complet. Prolongement des applications, complété d’un espace métrique. Théorème du point fixe.
- Espaces de Banach et de Hilbert : définition, le cas de la dimension fini. Application linéaires continues, dual topologique. Exemples : espaces Lp et C0. Espaces de Hilbert, projection sur un convexe fermé, dual.
Pré-requis nécessaires
Les UE d’analyse de L1, de L2 et du premier semestre de L3, en particulier :
- HAX404X Topologie de Rn et fonctions de plusieurs variables
- HAX502X Calcul différentiel et équations différentielles
Pré-requis recommandés : premier semestre de L3
Informations complémentaires
Volumes horaires :
CM : 31,5
TD : 31,5
TP : -
Terrain : -