Arithmétique des polynômes

Dans ce cours, on introduira un panorama des structures algébriques (anneau, idéal, corps) avant d’aborder l’algèbre K[X] et définir l’arithmétique sur les polynômes en faisant des parallèles avec l’arithmétique des entiers vue en L1. Des parties calculatoires sur les fonctions polynomiales et les fractions rationnelles seront traitées (factorisations/décompositions explicites).

Panorama des structures algébriques :

groupes, anneaux, corps, algèbres avec des exemples de L1

L’algèbre K[X] :

 définition, opérations, degré, Kn[X] (K=Q, R ou C).

Arithmétique de K[X] :

divisibilité, polynômes irréductibles, division euclidienne, algorithme d'Euclide. PGCD et PPCM, théorème de Bézout, lemme de Gauss, décomposition en facteurs irréductibles.

Notion d’idéal d’un anneau, Z et K[X] comme anneaux principaux, ré-interprétation de divisibilité, pgcd, ppcm en termes d’idéaux.

Fonctions polynomiales :

Rappels: racines, multiplicité, dérivation, formule de Taylor, caractérisation de la multiplicité des racines.

Polynôme scindé, relation racines-coefficients. Théorème de D’Alembert-Gauss, décomposition en facteurs irréductibles dans R[X] et C[X]. Racines n-ièmes de l’unité.

Fractions rationnelles :

définition comme corps des fractions de K[X]. Degré, partie entière, décomposition en éléments simples (sur R et C)

HAX203X – Arithmétique et dénombrement de L1

Pré-requis recommandés : L1 maths

Volumes horaires :

            CM : 15

            TD : 15

            TP :

            Terrain :