Groupes et anneaux 1

Acquérir les notions de base des théories des groupes et des anneaux et les illustrer sur des exemples.

Cette UE  abordera les points suivants :

 Théorie des groupes

    - Notion de groupe, sous-groupe et morphismes de groupes. Produit de groupes. Exemples.

    - Sous-groupe engendré par une partie, sous-groupe cyclique. Ordre d’un élément dans un groupe, théorème de Lagrange, indice d’un sous-groupe.

    - Étude de Z/nZ : théorème chinois des restes, petit théorème de Fermat, théorème de Wilson. Générateurs et sous-groupes de Z/nZ, indicatrice d’Euler, théorème d’Euler

    - Étude du groupe diédral. Étude du groupe symétrique et alterné.

 Théorie des anneaux

    - Notion d’anneau, d’anneau intègre, de corps. Produit d’anneaux. Groupe des inversibles d’un anneau. Algèbres sur un corps. Exemples.

    - Sous-anneau, sous-anneau engendré par une partie. Morphismes d’anneaux. Corps des fractions d’un anneau intègre.

    - Caractéristique d’un anneau, morphisme de Frobenius, cas des corps finis.

    - Idéal d’un anneau commutatif, idéal principal, anneau principal

    - Divisibilité dans les anneaux intègres : éléments irréductibles et premiers, PGCD, PPCM. Anneaux principaux, anneaux euclidiens, anneaux factoriels.

    - Lemme de Gauss et hérédité de la factorialité

Les UE d’algèbre de L1 et L2, en particulier :

- HAX303X Arithmétique des polynômes

Pré-requis recommandés : L2 maths

Volumes horaires :

            CM : 27

            TD : 27

            TP : -

            Terrain : -