Topologie des espaces métriques

Introduire les notion de base de la topologie et leur utilisation pour l’étude des espaces fonctionnels.

Cette UE abordera les points suivants :

- Espaces métriques et topologiques : définition, limites et continuité. Ouverts, fermés, voisinages. Intérieur et adhérence d’une partie, densité. Topologie produit  et topologie quotient.

- Connexité : définition, connexes de R. Image continue d’un connexe. Connexité par arc, convexité dans un espace vectoriel normé. Composantes connexes

- Compacité : définition. Les compacts de Rⁿ. Image continue d’un compact. Théorème de Bolzano-Weierstrass. Théorème d’Ascoli.

- Complétude : suites de Cauchy dans un espace métriques, définition d’un espace métrique complet. Prolongement des applications, complété d’un espace métrique. Théorème du point fixe.

- Espaces de Banach et de Hilbert : définition, le cas de la dimension fini. Application linéaires continues, dual topologique. Exemples : espaces L^p et C⁰. Espaces de Hilbert, projection sur un convexe fermé, dual.

Les UE d’analyse de L1, de L2 et du premier semestre de L3, en particulier :

- HAX404X Topologie de Rⁿ et fonctions de plusieurs variables

- HAX502X Calcul différentiel et équations différentielles

Pré-requis recommandés : premier semestre de L3

Volumes horaires :

            CM : 31,5

            TD : 31,5

            TP : -

            Terrain : -