M2 - Modélisation et Analyse Numérique (MANU)

Dans ce cours, on présentera des méthodes analytiques pour la résolution d’équations aux dérivées partielles (EDP) -- éventuellement nonlinéaires -- et l’étude du comportement qualitatif des solutions. La classe d’EDP et donc les méthodes étudiées pourra dépendre de l’intervenant. Elles seront en lien avec les applications développées au sein de l’IMAG : mécanique des fluides, mécanique du solide, maths-bio.

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Ce cours est la continuation du cours d'optimisation du second semestre de L3 mathématiques et celui sur l'optimisation et la machine learning de M1 MANU. Le cours s'appuie sur les ingrédients donnés dans les autres modules du master MANU en analyse des EDP et simulation numérique.

Après un rappel des résultats et méthodes numériques pour la simulation numérique des EDP sur maillage adaptatif, des résultats d'estimation a posteriori d'erreur, et des méthodes d'apprentissage supervisé du M1, le cours s'intéresse à la génération de bases de données de qualité et leur complétion et certification grâce à la simulation numérique certifiée grâce à un contrôle de l'erreur.

Cette question est fondamentale pour une utilisation certifiée de machine learning en industrie. En effet, la précision de l’apprentissage mathématique lors de l’inférence est fortement conditionnée par la qualité de la base de données.

Le cours comporte une partie importante de projets informatiques au fil de l'eau. Toutes les séances ont lieu en environnement informatisé et permettent une mise en œuvre immédiate des éléments théoriques.

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On étudie les problèmes inverses, en soulignant la notion de « problème bien posé ».

Une présentation est d’abord faite de problèmes inverses en dimension finie (notion de conditionnement, de valeurs singulières, …), puis en dimension infinie (stabilité du problème, régularisation, pseudo-inverse…).

Dans un second temps, les propriétés de la transformée de Fourier et l’opération de convolution sont rappelées dans les espaces Lp et leurs sous-espaces usuels. On examine en quoi ces deux opérations conduisent à des problèmes bien ou mal posés. Pour la convolution, en particulier, les notions de « filtre » et de « déconvolution » sont abordées dans le cadre de l’analyse du signal et de l’image.

Enfin, on applique ces notions à l’étude et à l’inversion de la transformée de Radon, ou de transformations apparentées, issues des techniques d’imagerie médicale.

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Ce cours porte sur l’étude de méthodes numériques avancées pour les équations aux dérivées partielles permettant l’utilisation de maillages polyédriques. La première partie du cours est consacrée à des outils d’analyse d’intérêt général. Dans la deuxième partie, on s’intéresse à la conception et à l’analyse des méthodes Hybrid High-Order, qui constituent un exemple de méthodes numériques de dernière génération. Dans la troisième partie on développe des applications de ces méthodes en lien avec les activités de recherche présentes à l’IMAG : mécanique des fluides, mécanique du solide et écoulements en milieux poreux.

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Stage de 4 mois minimum en entreprise, en EPIC ou en laboratoire de recherche, encadré par un·e chercheur·se, enseignant·e-chercheur·se ou ingénieur·e d’étude/recherche.

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Ce cours porte sur des aspects avancés du langage C++ appliqué au calcul scientifique, complétés par une présentation d’outils de pré/post -processing, d’outil de travail collaboratifs modernes (gestionnaires de version), d’outils de non-régression (gestionnaires de tests).

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Ce cours permet aux étudiants de se familiariser avec des problèmes réels mettant en jeu la résolution théorique ou numérique d’équations aux dérivées partielles.

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