Modélisation et Analyse Numérique (MANU)

Ce cours vient compléter les notions développées dans le cours d’Analyse des EDP 1. Il est notamment l’occasion d’étudier en profondeur certaines EDP linéaires posées sur un ouvert de Rn, comme par exemple le problème de Dirichlet, l’équation de la chaleur, l’équation de Schrödinger ou l’équation des ondes.

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Description : Les Équations aux Dérivées Partielles (EDP) sont de nos jours un objet mathématique incontournable à l’étude et la compréhension des phénomènes physiques ou biologiques. Leur très grande complexité les rend bien souvent impossible à résoudre analytiquement ; d’où la nécessité d’utiliser des méthodes de résolution numérique.

Ce cours est dédié à l’introduction des EDP, puis à leur résolution à l’aide de schémas numériques bien connues telles que les méthodes différences finies et volumes finis. Une partie plus analyse, nécessaire à l’introduction des méthodes volumes finis, sera consacrée à la résolution analytique des lois de conservation scalaire. Quatres TPs de programmation permettront d’illustrer dans des exemples simples les outils de calcul scientifique vus en cours.

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Ce cours est la continuation du cours d'optimisation du second semestre de L3.

Après un rappel des résultats et méthodes numérique pour les problèmes d'optimisation d’ordre un et deux, sans contrainte et sous contraintes d’égalité et d’inégalité, le cours s’intéresse aux questions aujourd’hui d’intérêt en optimisation industrielles, et en particulier, l’optimisation robuste, multicritère, en présence d’incertitudes.

Le cours illustre ensuite la place de l’optimisation dans les principaux algorithmes d'apprentissage mathématique (machine learning). Ces questions sont illustrées par des exemples de problèmes de classification et de régression en apprentissage supervisé. Ces exemples sont l'occasion de discuter des questions de métriques et de procédures pour l'évaluation de l'apprentissage, de la validation et de l'inférence (crossfold, overfitting, etc).

Le cours présente les différentes classes d'apprentissage : non-supervisé, supervisé, par transfert, par renforcement, incrémental, etc.

Les questions autour de la gestion des bases de données sont abordées : génération, imputation, visualisation, découpage.

Le cours présente les liens entre l'apprentissage mathématique par transfert (transfer learning) et la simulation numérique pour adresser les questions de génération de bases de données synthétiques, d'imputation, de prédiction non-intrusive, d'inférence rapide, etc.

Le cours comporte une partie importante de projets informatiques au fil de l'eau. Toutes les séances ont lieu en environnement informatisé et permettent une mise en œuvre immédiate des éléments théoriques.

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La construction de solutions d’équations aux dérivées partielles (EDPs) et l’étude théorique de leurs comportements qualitatifs est essentiellement basée sur l’utilisation de résultats d’analyse et en particulier d’analyse fonctionnelle. Ce cours présente de premiers outils importants pour la résolution d’EDPs via des points de vue analytiques ou géométriques. Ces outils seront mis en œuvre dans l’étude de quelques exemples d’EDPs représentatives de grandes classes d’équations.

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Cette UE développe la théorie classique des espaces de de Banach et constitue également une introduction à l’analyse spectrale.

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Les Équations aux Dérivées Partielles (EDP) sont de nos jours un objet mathématique incontournable à l’étude et la compréhension des phénomènes physiques ou biologiques. Leur très grande complexité les rend bien souvent impossible à résoudre analytiquement ; d’où la nécessité d’utiliser des méthodes de résolution numérique.

Ce cours est dédié à l’introduction des EDP, puis à leur résolution à l’aide de schémas numériques bien connus telles que les méthodes différences finies et volumes finis. Une partie plus analyse, nécessaire à l’introduction des méthodes volumes finis, sera consacrée à la résolution analytique des lois de conservation scalaire. Quatre TPs de programmation permettront d’illustrer dans des exemples simples les outils de calcul scientifique vus en cours.

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Les éléments finis sont une méthode numérique très utilisée. Ce cours exposera les principes de la méthode, donnera les équations utiles sur des problèmes variés et donnera les clés pour la mise-en-oeuvre informatique de la méthode.

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Ce cours de 42h donne les éléments de base de la mécanique des milieux continus : on étudie ainsi les mouvements, les déformations et les champs de contraintes au sein de milieux que l'on considère d'un point de vue macroscopique, par opposition à une description corpusculaire. Plus précisément on analyse ces phénomènes physiques en les décrivant d'un point de vue mathématique.

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Cours d’introduction à la géométrie différentielle, centré sur les notions de sous-variétés de Rⁿ, de champs de vecteurs et de flot.

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Ce cours porte sur les aspects de base du langage C++ appliqués à l’analyse numérique.

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Stage encadré par une chercheuse, un chercheur ou enseignante-chercheuse, enseignant-chercheur.

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Ce cours porte sur l’étude de méthodes numériques avancées pour les équations aux dérivées partielles permettant l’utilisation de maillages polyédriques. La première partie du cours est consacrée à des outils d’analyse d’intérêt général. Dans la deuxième partie, on s’intéresse à la conception et à l’analyse des méthodes Hybrid High-Order, qui constituent un exemple de méthodes numériques de dernière génération. Dans la troisième partie on développe des applications de ces méthodes en lien avec les activités de recherche présentes à l’IMAG : mécanique des fluides, mécanique du solide et écoulements en milieux poreux.

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Dans ce cours, on présentera des méthodes analytiques pour la résolution d’équations aux dérivées partielles (EDP) -- éventuellement nonlinéaires -- et l’étude du comportement qualitatif des solutions. La classe d’EDP et donc les méthodes étudiées pourra dépendre de l’intervenant. Elles seront en lien avec les applications développées au sein de l’IMAG : mécanique des fluides, mécanique du solide, maths-bio.

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Ce cours est la continuation du cours d'optimisation du second semestre de L3 mathématiques et celui sur l'optimisation et la machine learning de M1 MANU. Le cours s'appuie sur les ingrédients donnés dans les autres modules du master MANU en analyse des EDP et simulation numérique.

Après un rappel des résultats et méthodes numériques pour la simulation numérique des EDP sur maillage adaptatif, des résultats d'estimation a posteriori d'erreur, et des méthodes d'apprentissage supervisé du M1, le cours s'intéresse à la génération de bases de données de qualité et leur complétion et certification grâce à la simulation numérique certifiée grâce à un contrôle de l'erreur.

Cette question est fondamentale pour une utilisation certifiée de machine learning en industrie. En effet, la précision de l’apprentissage mathématique lors de l’inférence est fortement conditionnée par la qualité de la base de données.

Le cours comporte une partie importante de projets informatiques au fil de l'eau. Toutes les séances ont lieu en environnement informatisé et permettent une mise en œuvre immédiate des éléments théoriques.

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On étudie les problèmes inverses, en soulignant la notion de « problème bien posé ».

Une présentation est d’abord faite de problèmes inverses en dimension finie (notion de conditionnement, de valeurs singulières, …), puis en dimension infinie (stabilité du problème, régularisation, pseudo-inverse…).

Dans un second temps, les propriétés de la transformée de Fourier et l’opération de convolution sont rappelées dans les espaces Lp et leurs sous-espaces usuels. On examine en quoi ces deux opérations conduisent à des problèmes bien ou mal posés. Pour la convolution, en particulier, les notions de « filtre » et de « déconvolution » sont abordées dans le cadre de l’analyse du signal et de l’image.

Enfin, on applique ces notions à l’étude et à l’inversion de la transformée de Radon, ou de transformations apparentées, issues des techniques d’imagerie médicale.

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Ce cours porte sur des aspects avancés du langage C++ appliqué au calcul scientifique, complétés par une présentation d’outils de pré/post -processing, d’outil de travail collaboratifs modernes (gestionnaires de version), d’outils de non-régression (gestionnaires de tests).

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Ce cours permet aux étudiants de se familiariser avec des problèmes réels mettant en jeu la résolution théorique ou numérique d’équations aux dérivées partielles.

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Stage de 4 mois minimum en entreprise, en EPIC ou en laboratoire de recherche, encadré par un·e chercheur·se, enseignant·e-chercheur·se ou ingénieur·e d’étude/recherche.

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