Algèbre II, espaces vectoriels et applications linéaires

Cette fait suite à l’UE de S1 (Algèbre I) où ont été introduits algèbre linéaire dans R², R³ et Rⁿ, calcul matriciel et polynômes à coefficients réels.

L’objectif est d’introduire quelques concepts élémentaires de structure algébrique, et approfondir le travail sur les espaces vectoriels et les applications linéaires, ainsi que les polynômes.

- Les structures en algèbre

• Loi de composition interne sur un ensemble
• Notion d'associativité, de commutativité, d'élément neutre, d'inverse
• Notion de groupe, d'anneau et de corps
• Calcul dans un anneau. Identités remarquables et formule du binôme.
• Exemples (C est un corps,  racines de l’unité, groupe des permutations, anneau des polynômes et des endomorphismes/matrices, groupe des automorphismes/matrices inversibles et sous-groupe des isométries, etc.)

- La structure d'espace vectoriel

• Structure d'espace vectoriel sur un corps K. Cas Rⁿ et Cⁿ, espace des suites réelles, espace des fonctions numériques
• Combinaisons linéaires et colinéarité
• Sous-espace vectoriel, sous- espace vectoriel engendré par une partie familles génératrices, familles libres, bases, dimension, théorème de la base incomplète et de l'échange
• Somme et somme directe de sous-espaces, supplémentaire.
• Rang d'une famille de vecteurs
• Formule de Grassmann

- Applications linéaires

• Noyau et image
• Correspondance application linéaire matrice avec toutes les propriétés usuelles.
• Changement de base
• Invariance de la trace par changement de base et définition de la trace d'un endomorphisme, tr(uv)=tr(vu).
• Isomorphisme et application linéaire réciproque. Groupes GL(E) et GL(n).
• Projection, symétrie, homothétie
• Rang d'une application linéaire, rang d'une matrice. Théorème du rang. Invariance du rang par composition/multiplication par des matrices inversibles
• Forme échelonnée réduite d'une matrice, opérations élémentaires
• Retour sur les systèmes linéaires, lien rang d'une matrice/nombre de pivots de sa forme échelonnée réduite, dimension du noyau/nombre de variables libres

- Polynômes

• Retour sur K[X], vu comme espace vectoriel
• Cas de K_n[X] : changement de bases, décomposition des polynômes dans des bases du type 1,X-a,(X-a)²...
• Preuve de a racine de P ssi il existe Q tel que P=(X-a)Q
• Formule de Taylor, caractérisation de la multiplicité des racines
• Polynômes interpolateur de Lagrange
• Substitution de l'indéterminée

Programme de mathématiques du S1, et en particulier Algèbre I, Géométrie dans le plan et plan complexe, et Raisonnement et théorie des ensembles.

Pré-requis recommandés :

Programme de mathématiques du S1.

Volumes horaires :

            CM : 30 h

            TD : 30 h

            TP : 0

            Terrain : 0