• ECTS

    5 crédits

  • Composante

    Faculté des Sciences

  • Volume horaire

    42h

Description

Cours d’introduction à la théorie des corps, avec le théorème de correspondance de Galois comme résultat principal.

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Objectifs

Maîtriser des outils de bases d’algèbre commutative, et introduire un théorème typique de correspondance, très fécond en mathématiques.

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Pré-requis nécessaires

Un cursus de Licence de Mathématiques.

 

 

Pré-requis recommandés :  le contenu des deux cours de L3 « Groupes et anneaux 1 » et « Groupes et anneaux 2 » de la  Licence de Mathématiques de l’Université de Montpellier.

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Syllabus

  1. Révisions sur les anneaux, les corps ; sous-corps premier, caractéristique d’un corps, morphisme de Frobenius, factorisation et critère d'Eisenstein.
  2. Extensions de corps : formule des degrés, extensions algébriques, corps algébriquements clos, clôtures algébriques, corps de rupture, corps de décomposition, prolongements des morphismes de corps.
  3. Le groupe de Galois ; sous-corps invariants, théorème d'Artin.
  4. Les corps finis : groupe de Galois, sous-corps, correspondance de Galois.
  5. Extensions normales, celles qui sont finies sont des corps de décomposition.
  6. Polynômes et extensions séparables : définitions, composition des extensions séparables, corps parfaits (caractérisations), théorème de l'élément primitif.
  7. Extensions galoisiennes : définition(s), éléments conjugués. Correspondance de Galois ; exemples et applications.
  8. Résolution d'équations polynomiales : groupe de Galois d'un polynôme, action sur les racines, théorème de Galois de résolubilité par radicaux en caractéristique nulle.
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Informations complémentaires

Volumes horaires :

            CM : 21h

            TD :  21h

            TP : 0

            Terrain : 0

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