Algèbre, Géométrie et Calcul

Ce cours développe différents aspects du calcul effectif en algèbre (algèbre linéaire sur les anneaux euclidiens, résultants,…) et introduit les premiers éléments de géométrie algébrique.

Maîtriser des aspects « effectifs » des notions d’algèbre étudiées au premier semestre, et préparer les étudiantes et étudiants à l'option de modélisation du concours de l’agrégation de Mathématiques; l’UE comprend des TP informatique en SageMath (calcul formel). 

Séries de Fourier usuelle dans L²(R/Z), réduction des endomorphismes, Jordan, le cours du premier semestre « Algèbre 1 ».

Pré-requis recommandés :  Séries de Fourier usuelle dans L²(R/Z), réduction des endomorphismes, Jordan, le cours du premier semestre « Algèbre 1 ».

1. Algèbre linéaire effective sur les anneaux euclidiens : formes normales de Hermite, de Smith, réduction de Frobenius, facteurs invariants d'une matrice. Théorème de la base adaptée et applications.

2. Multiplication rapide de polynômes : calculs de complexité et multiplication usuelle, Algorithme de Karatsuba, transformée de Fourier d'une groupe abélien fini, transformée de Fourier discrète pour les polynômes, algorithme de transformée de Fourier rapide.

3. Résultant : matrice de Sylvester, méthodes d'élimination, expression en fonction des racines, discriminant.

4. Introduction à la géométrie algébrique : espace affine, études de courbes planes (ex. quadriques), le nullstellensatz, topologie de Zariski.

5. Bases de Groebner : ordres monomiaux, algorithme de Buchberger et algorithmes d'élimination.

Volumes horaires :

            CM : 21h

            TD :  21h

            TP : 0

            Terrain : 0