ECTS
5 crédits
Composante
Faculté des Sciences
Description
Cours d’introduction à la géométrie différentielle, centré sur les notions de sous-variétés de Rn, de champs de vecteurs et de flot.
Objectifs
Maîtriser des outils de base de géométrie différentielle.
Pré-requis nécessaires
Un cursus de Licence de Mathématiques.
Pré-requis recommandés : le contenu du cours de L3 « Calcul différentiel et équations différentielles » de la Licence de Mathématiques de l’Université de Montpellier.
Syllabus
- Courbes du plan et de l’espace : courbure d’une courbe du plan, courbure et torsion d'une courbe de l'espace.
- Révisions de calcul différentiel dans Rn : accroissements finis, inversion locale, fonctions implicites, formes normales des immersions et des submersions. Applications : sous-variétés de Rn, exemples standards, espace tangent, orientation.
- Surfaces dans R3, seconde forme fondamentale, courbure.
- Applications différentiables, valeurs régulières, théorème de Brown et applications.
- Champs de vecteurs et flots.
Le cours sera illustré par des applications, au choix de l’enseignant. Exemples (non exhaustif) :
- minoration de la courbure totale des courbes nouées ;
- preuve du théorème de Jordan dans le plan ;
- théorème de Gauss-Bonnet sur les surfaces ;
- notion de variété abstraite avec exemples standards : les espaces projectifs, les grassmaniennes.