• ECTS

    8 crédits

  • Composante

    Faculté des Sciences

  • Volume horaire

    54h

Description

Dans cette UE on étudie les groupes classiques (linéaires, unitaires, orthogonaux, symplectiques), dans leurs aspects algébriques (réduction, classes de conjugaison…), géométriques (actions, application exponentielle) et topologiques.

Lire plus

Objectifs

Maîtriser des outils de base communs à toutes les branches de la Géométrie.

Lire plus

Contrôle des connaissances

Un cursus de Licence de Mathématiques.

 

 

Pré-requis recommandés :  le contenu des deux cours de L3 « Groupes et anneaux 1 » et « Topologie des espaces métriques » de la Licence de Mathématiques de l’Université de Montpellier.

Lire plus

Syllabus

  1. Groupes et actions de groupes : rappels, produit semi-direct.
  2. Le groupe général linéaire GLn : action sur Mn par équivalences, par similitudes. Interprétation du pivot de Gauss et théorème de Jordan sur C ou R. Connexité de Gln, densité dans Mn, adhérence de classes de similitudes. Action de GLn sur les droites vectorielles. Le groupe projectif linéaire ; en dimension 2 : les homographies.
  3. Groupes unitaires et orthogonaux : interprétation matricielle, relation avec les formes hermitiennes, réduction, classes de conjugaison. Propriétés topologiques. Groupes d’isométrie de polygones et polyèdres réguliers en dimension 2 et 3.
  4. Exponentielle de matrice et décomposition polaire : matrices hermitiennes et symétriques réelles, réduction de ces matrices, racines carrées de matrices hermitiennes définies positives. Décomposition polaire pour Gln (C ou R). Exponentielle de matrice et décomposition polaire, aspects topologiques.
  5. Développements et applications, par exemple liées aux représentations linéaires de groupes finis (étudiés dans l’UE algèbre I), ou à l’action de SL(2,R) sur le demi-plan de Poincaré.
Lire plus

Informations complémentaires

Volumes horaires :

            CM : 27

            TD :  27

            TP : 0

            Terrain : 0

Lire plus